群

定义： 是集合 $G$和一个二元运算 $*$（或者其他你喜欢的符号），这一运算将$a,b∈G$映射到$c∈G$上，写作$a∗b=c,∀a,b,c∈G$。这个集合和它的运算被写成有序对$(G,∗)$。另外，为了成为一个有效的群，集合和运算必须满足以下条件：

  1. 结合律： $∀a,b,c∈G,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)$
  2. 单位元：存在一个元素$e∈G$，使得所有元素$a∈G$，等式$a∗e=e∗a=a$成立。这样的元素是唯一的，被称为单位元素。
  3. 逆元：对于所有$a∈G$，存在一个元素$b∈G$，通常表示为$a−1$，使得 a∗b=b∗a=e ，其中$e$是单位元素。 备注：运算$∗$不一定可以交换，即$a∗b=b∗a$不一定成立。运算的顺序可能有关系。如果没有关系，则称之为交换群。集合$Z$（整数集）和加法是一个交换群，因为$1+2=2+1$

环和域

环定义： 是定义了两个二元运算$∗$和$∙$的集合$R$，它满足下面这三个公理(环公理)： 1.$R$在$∗$运算下是交换群，也就是$(R,∗)$满足群的公理。 2. 当运算$∙$满足结合律$(a∙(b∙c)=(a∙b)∙c)$并且$(R,∙)$有单位元素$(∃e∈R满足e∙b=b∙e=e)$时,$(R,∙)$构成一种叫幺半群的数学结构。 3.$∗$和$∙$满足分配律，即$a,b,c∈R$，有： $a∙(b∗c)=(a∙b)∗(a∙c)$(左分配律) $(b∗c)∙a=(b∙a)∗(c∙a)$(右分配律) 域定义： 是定义了两个二元运算$∗$和$∙$的集合$F$，对于$∀a,b,c∈F$，它满足以下条件。

  • 结合律$a∗(b∗c)=(a∗b)∗c,a∙(b∙c)=(a∙b)∙c$
  • 交换律$a∗b=b∗a,a∙b=b∙a$
  • 分配律$a∙(b∗c)=(a∙b)∗(a∙c),(b∗c)∙a=(b∙a)∗(c∙a)$
  • 恒等$a∗0=a=0∗a,a∙1=a=1∙a$
  • 逆元素 $a∗(−a)=0=−a∗a,a∙a−1=1=a−1∙a$,如果$a≠0$

其中$0$是$∗$运算下的单位元素,$1$是$∙$运算下的单位元素。